autor: Prof. RNDr. Jozef Hvorecký, PhD.
Abstrakt. Niektoré zadania (alebo ich riešenia) znejú absurdne, až nezmyselne. To však neznamená, že sa nesmú počas vyučovania objaviť. Skôr naopak – ich prekvapivý účinok pomôže spestriť priebeh výučby a poukáže na zložitejšie súvislosti danej látky a/alebo upozorní študentov na opatrnosť pri hľadaní riešenia. V rámci prednášky uvedieme viacero úloh využívajúcich zdanlivé absurdity na zvýšenie záujmu žiakov a študentov o matematiku. Zámerom je odstrániť nedorozumenia typu „matematika nesúvisí s reálnym životom“, lebo „je iba o číslach“. Napaldo vás viužyť poodbné tvrednie na sjevoj hidone? Zadania uvedené v článku a ich varianty sa dajú využiť na spestrenie výučby.
Úvod
Kto si všimol nápadne vysoký počet gramatických chýb v predposlednej vete abstraktu, vytuší zámer článku. Chceme ukázať, že drobné chyby nemôžu byť prekážkou pri správnom pochopení celku. Strach pred nedokonalosťou argumentácie vedie učiteľov k preplneniu látky formálnymi detailmi, ktoré však môžu – vinou veľkého počtu – zastrieť primárny obsah posolstva. Grainger and Whithey v článku [1] ukázali, že zámena vnútorných písmen v slovách nebráni ich správnemu čítaniu a interpretácii. Aj názov ich článku Does the huamn mnid raed wrods as a wlohe? (kontextovo preložené: Vmína ľusdká myesľ slvoá ako ceolk?) naznačuje, že drobné chyby v komunikácii nemusia zabrániť pochopeniu obsahu správy, pretože jej posolstvo vnímame v kontexte. Extrapolovaním ich poznatkov môžeme vysloviť domnienku, že aj neúplná informácia viesť k pochopeniu celku.
V článku [2] sme ukázali, že o značnej miery platí aj opak: Z nezmyselnosti výsledku vieme odvodiť aj absurdnosť pôvodného zadania. Svoje tvrdenia sme v [2] demonštrovali sériou úloh, naznačujúcich, že samotná matematika nerešpektuje iný kontext než vlastné axiómy, pravidlá a postupy spracovania. Keď však chceme matematiku použiť na riešenie reálneho problému, musíme nielen poznať jej explicitné pravidlá, ale aj brať do úvahy, či sú v danom kontexte aplikovateľné. Matematické pravidlá a postupy predstavujú explicitné poznatky a sú objektívne z hľadiska celého ľudstva. Vhodnosť ich použitia v danom kontexte je špecifická a individuálna. Daný jedinec si ju musí osvojiť ako svoj tacitný (podvedomý) na svojej ceste k dosiahnutiu excelentnosti. Výsledkom [2] bolo konštatovanie: „Každé úspešné vyriešenie problému je príbehom vhodnej kombinácie tacitných a explicitných poznatkov – so štipkou šťastia navrch. Ak žiaci nezískajú tacitné vedomosti, memorovanie explicitných je zbytočné.“
V tomto článku rozvinieme predchádzajúcu myšlienku. Ukážeme, ako rozvíjať tacitné vedomosti cieľavedomými „nezmyslami“, ktoré však zároveň obsahujú náznak riešenia alebo cestu k nemu, prípadne slúžia ako základ pre formulovanie nadväzujúcich problémov. Nejde teda nezmysly vo význame „hlúposť, nerozum“. V uvedených úlohách ide skôr o záhady s osobitnou vnútornou logikou. Ich riešením chceme rozvíjať tvorivosť a využívať vedomé aj nevedomé poznatky žiakov o okolitom svete. Ich interdisciplinárny charakter umožňuje uplatniť kreativitu učiacich sa nielen počas riešenia matematických úloh, ale aj v ďalších vyučovacích predmetoch. Úlohy uvedené v článku sa preto dajú využiť aj pri výučbe materinského jazyka a informatiky.
Úlohy s permutovaným textom
Názov článku Graingera a Whitneyovej je zrozumiteľný pre pokročilého znalca angličtiny, kým pre menej zdatných bude bezobsažným v obidvoch verziách – v použitej aj v gramaticky správnej. Túto vlastnosť má napríklad slovenský text: Pteer a Odrnej sú dvjičoky. Ľduia si ich čtaso mýila. Chplcai to očabs znežíuavjú, havlne v škloe.
Využitie vo výučbe materinského jazyka
Pri výučbe slovenčiny sa dá takto ukázať, že gramatické chyby nemusia byť faktorom, ktorý zničí zrozumiteľnosť. Na dosiahnutie dohodnutého, štandardizovaného tvaru vyjadreného sústavou presne definovaných pravidiel [3] je treba sa naučiť odstraňovať chyby z nesprávne zapísaného textu podobného uvedenému.
Žiaci často namietajú, že presná gramatika nie je dôležitá: „Veď sa tomu dá aj tak rozumieť.“ Ako ukazujeme v ďalšej časti, matematika môže poslúžiť ako protiargument. Keby totiž začal každý používať vlastnú formu zápisu, nerešpektujúcu spôsob zápisu ostatných používateľov, mohlo by to skončiť absolútnym chaosom. Čítanie modifikovaného textu je totiž možné vďaka tomu, že myseľ transformuje chybne zapísaný text na štandardizovaný. Žiaci musia pochopiť, že neexistencia štandardu je vážnou prekážkou porozumenia. Štandard je teda nevyhnutný a každý by ho mal poznať.
Využitie vo výučbe matematiky
Grainger and Whithey [1] uvažovali úpravy slov, pri ktorých sa zamieňajú vnútorné písmená. Prvé a posledné písmeno zostávajú na svojom mieste. Prvou „matematickou“ otázkou je teda: Aký má vplyv toto zistenie na trojpísmenové slová? Pochopiteľne, musia ostať bezo zmeny, lebo ich nie je s čím zamieňať. Tento poznatok sa môže zdať nepodstatný, má však svoj dôvod. Skúsený učiteľ totiž už teraz vie, že všetkých počet „zrozumiteľných“ zámen je faktoriál počtu vnútorných písmen. Takže predchádzajúca otázka bola vlastne článkom propedeutiky faktoriálu, presnejšie zavedenie čiastkového poznatku „1! = 1“.
Samozrejme, ak je N počet vnútorných písmen N, počet permutácií bude N! iba vtedy, keď sú všetky rôzne. Na začiatku treba preto voliť krátke slová, v ktorých to platí. Kreslením vetvení na základe zostávajúcich (zatiaľ nevložených) písmen žiaci ľahko zistia, že počet vetvení sa na každej úrovní mení.
Ako príklad uvádzame alternatívy slova CUKETA. Začíname „slovom“ C—-A. Prvé a posledné písmeno sú na svojom mieste, medzi nimi sú štyri medzery pre vnútorné písmená. Na obr. č. 1 vidieť štyri vetvy, zodpovedajúce štyrom možnostiam vloženia písmen U, K, E a T1.
Dané štyri možnosti sa dajú opäť vetviť, tentoraz iba trikrát. Písmeno vložené na prvé miesto sa totiž už nesmie viac použiť. Výsledok je na obr. č. 2.
Ešte stále existuje možnosť voľby, pretože vždy existujú dve voľné vnútorné písmená. Obr. č. 3 ukazuje stav po ďalšom vetvení.
V tejto chvíli je už úloha takmer na konci, jej riešenie však možno podporiť niekoľkými otázkami:
A) Vetvení je dvadsaťštyri. Zväčší sa ich počet v nasledujúcom kroku?
B) Ktoré iné slovo sa vetví rovnakým spôsobom?
C) Ovplyvní opakovanie vnútorného písmena (napr. v slove perleť) počet „zrozumiteľných podôb“ slova? Ako?
D) Ovplyvní zhoda niektorého vnútorného a vonkajšieho písmena (napr. v slove mramor) počet permutácií?
Od žiakov treba zároveň žiadať vysvetlenie ich názoru – prečo ich tvrdenie platí, resp. prečo neplatí tvrdenie opačné. Učiteľ môže sa napríklad pýtať, či je isté, že týmto spôsobom vygenerujeme všetky možné permutácie vnútorných písmen – a ako to dokázať.
Výhodou úloh je možnosť využiť bežné poznatky žiakov. Napríklad počet vetvení v slove cuketa sa postupne redukuje zo štyroch na tri, potom na dve až po jedno. Posledná možnosť môže byť pritom predmetom diskusie, či aj „jedno vetvenie je vetvenie“. Pomôcť môže obr. č. 3. Aby bola slová úplné, musíme spraviť ešte jeden krok k slovám úrovne 4, lebo iba ony obsahujú všetky vnútorné písmená. Tento prístup ozrejmí, prečo
N! = N x (N-1) x … x 4 x 3 x 2 x 1
Pomocou úloh, v ktorých permutujeme opakujúce sa vnútorné písmená, dokážu žiaci usúdiť, že každé opakovanie zmenší pôvodný výsledok K! – krát, kde K je počet jeho opakovaní. Hoci nejde o nijako prekvapujúci a ani z hľadiska matematiky významný poznatok, jeho úloha pri budovaní sebadôvery učiacich sa je neoceniteľná.
Využitie vo výučbe informatiky
Ochrana osobných údajov patrí k najdiskutovanejším témam súčasnosti. Slová s permutovanými písmenami umožňujú skomplikovať dešifrovanie správy, ktorá ich obsahuje. Pri odhaľovaní kódu sa totiž veľmi často využívajú frekvenčné charakteristiky, typické pre daný jazyk (typické často sa vyskytujúce zhluky písmen). V slovenčine sú takými napríklad dvojice ka-, po-, vy- a pod.) Vhodnou zámenou písmen v slovách, ktoré ich obsahujú, dokážeme ich frekvenciu znížiť. Text ich bude obsahovať výrazne menej ako je pre slovenčinu typické. Táto úloha sa dá využiť ako praktické cvičenie pre náročnejších programátorov. Obsahuje rozklad slov na písmená, vyžaduje vykonať náhodnú zmenu poradia vnútorných písmen a – ak je známa frekvenčná tabuľka najčastejších dvojíc a trojíc – môže úloha požadovať aj redukciu počtu frekventovaných skupín.
Účelovo budované nezmysly
Výkladový slovník [4] definuje matematiku ako vedu, ktorá sa zaoberá „číslami a operáciami a s nimi, ich vzťahmi, kombináciami, zovšeobecňovaním a abstrahovaním, ako aj priestorom, konfiguráciami a ich štruktúrami, ich meraním, transformáciami a zovšeobecňovaním.“ Výučba matematiky sa však často redukuje iba na prvé zložky v uvedenom zozname, teda na čísla a operácie s nimi, resp. na priestor a jeho štruktúry. Menej času sa venuje vzťahom medzi uvažovanými objektmi a ich zovšeobecňovaniu, hoci práve ony tvoria jeden zo základov kritického myslenia. Na ich rozvoj a upevňovanie sa dá využiť iný druh nezmyselných textov:
Bača Demeter je môj kamarát. Poznám ho dávno, od zajtra. Keď som ho naposledy navštívil, pásol ovce.
„Na tejto lúke som ešte nebol,“ vravím. „Je krásne kruhová.“
Bača: „Veru, veru. Má rovnako dlhé strany: tristo, štyristo a päťsto metrov.“
Ja na to: „Takže tvorí štvorec.“
Úlohou žiakov je odhaliť nezmyselné tvrdenia a odôvodniť, čím protirečia realite. V rámci cvičenia môžu podobné texty aj vytvárať. To im dovolí pochopiť a zovšeobecniť rozpor medzi potenciálom písaného textu a realitou. Písaný text môže byť (teoreticky) neohraničene voľný. Ak má však reflektovať realitu, musí zohľadniť je zákonitosti – voľnosť bude ňou limitovaná.
Využitie vo výučbe matematiky
Len ten, kto má príslušné poznatky, dokáže nájsť v texte protirečenia. Odôvodniť, v čom spočíva problém, je ešte dôležitejšie. Uvedieme príklady:
- Porušenie súslednosti časov: Poznám ho dávno, od zajtra.
- Priraďovanie neexistujúcich vlastností k objektu: Kruh nemá strany.
- Rozpor vlastností: Strany dlhé 300, 400 a 500 metrov sú vraj rovnako dlhé.
- Vlastnosť jedného objektu je priradená inému: Tri strany má trojuholník, nie štvorec.
Tvorivosť v tejto oblasti je neobmedzená a je vhodné do nej zapojiť žiakov. Napríklad v podobe „dôkazu“ o počte strán: Trojuholník má tri uhly. Uhol je vytvorený dvomi stranami. Trojuholník má preto šesť strán.
Žiaci môžu sami navrhovať ďalšie typy protirečení vzťahujúcich sa na vzhľad matematický objektov (Líši sa modrá kocka od červenej aj niečím iným ako farbou?), názvoslovia (Je kockou Rubikova kocka? Prečo áno alebo prečo nie?) alebo výskytom v reálnom živote (Má kockový cukor tvar kocky?). Podobné úlohy sa môžu stať predmetom diskusií v triede. Pri úlohách typu – prečo áno, prečo nie – je vhodné rozdeliť kolektív na zástancov a oponentov daného názoru. Pri hodnotení oceňovať nielen kvalitu a správnosť tvrdení, ale aj argumentačnú silu a vynaliezavosť oponentov zastupujúcich chybný názor, predovšetkým ich ochotu priznať si omyl.
Využitie vo výučbe materinského jazyka
Čítanie s porozumením je opakujúcim sa problémom našich žiakov. Klesajúce výsledky v hodnotení PISA [4] naznačujú, že opatrenia na zlepšenie nie sú dostačujúce. Jedným z nástrojov riešenia podporujúcich udržiavanie pozornosti počas čítania môžu byť texty obsahujúce protirečenia a nezmysly. Ich odhalenie nie je totiž možné bez sústredenia sa na sémantiku prečítaného, t. j. bez pochopenia významu. Súbežným efektom je aj potešenie a zábava spojená s pochopením pointy, ktoré môžu viesť k zvýšenému záujmu o čítanie aj ďalších textov.
Čítaním popletených textov sa žiaci naučia aj pochybovať o absolútnej pravdivosti prečítaného textu. Vďaka tomu sa môžu stať aj odolnejšími voči hoaxom a konšpiračným teóriám. Napríklad upozornenie na chybnú časovú súslednosť by malo viesť k opatrnosti pri analýze vzťahu príčina-následok. Mnoho konšpiračných teórií totiž vychádza práve z nesprávneho (či úmyselne nesprávneho) vzťahu medzi nimi. Tvorba slohových prác s úmyselnými nesprávnymi vzťahmi navyše rozvíja kreativitu – vymyslieť „krásny“ nezmysel totiž nie je jednoduché.
Využitie vo výučbe informatiky
Počítačový program nie je náhodný zhluk inštrukcií programovacieho jazyka. Podobne ako matematické nezmysly protirečia realite a/alebo pôvodnému úmyslu zadávateľa, aj nesprávne zoradené a/alebo chybne navrhnuté inštrukcie produkujú iný ako očakávaný výsledok. Časť výučby musí byť preto venovaná opravám a úpravám programov.
Ladenie vlastných chýb je síce bežnou súčasťou kurzov programovania – ide však o iný problém. Programátor totiž pozná vlastný zámer a hľadá (ne)súlad medzi úmyslom a jeho realizáciou. Pri zásahoch do cudzieho programu však má oveľa menej informácii a musí sa k nej postupne prepracovať. Učiteľ by mu mal poradiť, aké stratégie je vhodné použiť a čo sa počas nich dozvie. Zadanie tohto typu sú totiž v praxi časté a absolvent by mal poznať aspoň najbežnejšie nástroje, ktoré sa pri modifikáciách cudzích programov využívajú.
Ďalšou možnosťou využitia nezmyslov predstavujú odkazy na ich výskyt na internete. Podobnými absurditami sa dá demonštrovať, že nepravdivosť názoru „na internete je všetko“. V rukopise [7] na otázku, čo bude na večeru, odpovedá bača: Guláš z ťavích parohov – recept som našiel na internete. Aj nie príliš vynaliezavému poslucháčovi bude ihneď jasné, že presvedčenie o všemohúcnosti internetu nemá presvedčivý základ.
Záver
Súčasný vzdelávací systém vznikol v začiatkom 19. storočia v úplne iných sociálno-ekonomických podmienkach. Ako konštatuje sir Ken Robinson, vo vzdelaných vrstách prevládala skepsa o zmysluplnosti masového vzdelávania: „Deti ulice, deti robotníkov nemôžu mať úžitok zo všeobecného vzdelávania. Nie sú schopné naučiť sa čítať a písať, tak prečo by tým mali márniť čas?“ Podobná skepsa dnes zasahuje dnes vzdelávanie v oblasti matematiky a prírodných vied: Načo sú nám v čase počítačov – o to viac, že nie sú obľúbené a žiaci v nich dosahujú slabšie výsledky? Robinson upozorňuje na skutočnosť, že žiakom chýba počas vzdelávania estetický zážitok. Vzdelanie sa „industrializovalo“: presne určená dĺžka pracovného času, oddelené priestory pre jednotlivé činnosti a predmety, obsah sa redukuje na splnenie predpísaných testov a prijímacích skúšok. Najlepší študenti asi dokážu mať estetický zážitok (či pocit „heuréka“) z matematiky aj dnes, ale pre ostatných je sotva predstaviteľný.
Prepojením matematiky so zábavou sa šanca získať tento pocit zvyšuje. Žiak nemusí mať matematický talent na to, aby zistil počet permutácií vnútorných písmen, ani na to, aby usúdil, že ich opakovanie tento počet znižuje. Z teoretického hľadiska ide o istý variant konštruktivistického prístupu k vzdelávaniu [6], v ktorom sa dôraz kladie na úsmevnejšie formulovanie úloh s cieľmi:
- zvýšiť motiváciu prostredníctvom úloh, v ktorých sa matematická podstata objavuje až „v druhom kole“,
- poskytnúť umelecký zážitok, ktorý ozvláštni úlohu a uvoľní atmosféru,
- prezentovať prítomnosť medzipredmetových vzťahov inak ako ich rigidným (niekedy až vynúteným) začlenením do vyučovacieho procesu.
Deti majú radi tento „inverzný“ prístup k vzdelávaniu, pri ktorom vzdelávanie nevyzerá veľmi ako vzdelávanie, skôr ako hra s predstavivosťou. Vo svete už desiatky rokov vznikajú knihy s týmto zameraním, napríklad [8, 9]. Našťastie, aj u nás už prestávajú byť takéto knihy výnimkou. Medzi prvé patril Pištáčik [10], ktorého prvé vydanie sa datuje do sedemdesiatych rokov minulého storočia.
Samozrejme, nedá sa očakávať transformácia celého vyučovacieho procesu týmto smerom. Niektoré jeho zložky (napríklad malá násobilka či vybrané slová) sa bez dávky drilu nezaobídu. Uvedené úlohy treba skôr chápať ako ukážky, dovoľujúce uvoľniť strnulú atmosféru v učebniach a obohatiť mimoškolskú činnosť vedúcu k „vzdelávaniu“ v najširšom slova zmysle. Ich neposlednou výhodou je skutočnosť, že ich dokážu vytvárať žiaci aj učitelia a tým si rozvíjať vlastné kreatívne myslenie.
1 Číslo pred slovom špecifikuje počet vložených vnútorných písmen.
Literatúra
[1] Jonathan Grainger, Carol Whithey: Does the huamn mnid raed wrods as a wlohe? Trends in Cognitive Sciences, Vol, 8, No. 2 (Feb. 2004), str. 58-59.
[2] Jozef Hvorecký: Matematika v kontexte. Zborník konferencie Dva dni s didaktikou matematiky, FMFI UK, Bratislava, 2018, str. 49-56. Dostupné na internete: https://www.ddm.fmph.uniba.sk/files/DvaDni/Zbornik2018.pdf
[3] Matej Považaj: Pravidlá slovenského pravopisu, 3. upravené a doplnené vydanie, Bratislava, SAV, 2000
[4] Merriam-Webster Dictionary, New York, Merriam-Webster, 2016, ISBN 978-0877792956
[5] MŠVVŠ SR: Výsledky slovenských 15-ročných žiakov sú podľa medzinárodnej štúdie PISA pod priemerom krajín OECD. Dostupné na internete: https://www.minedu.sk/vysledky-slovenskych-15-rocnych-ziakov-su-podla-medzinarodnej-studie-pisa-2015-pod-priemerom-krajin-oecd/
[5] Ken Robinson: Changing Education Paradigms. Dostupné na internete: http://www.cfpscourseweb.com/pluginfile.php/1099/block_html/content/RSA%20%20Ken%20Robinson%20Lecture%20-%20transcript.pdf
[6] Milan Hejný, František Kuřina: Dítě, škola a matematika: Konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha, Portál, 2001
[7] Jozef Hvorecký: Meňavce, 2. diel (pripravovaný rukopis)
[8] Lewis Caroll: Alica v krajine zázrakov. Bratislava, Naše Vojsko, 2016
[9] Astrid Lindgren: Pipi Dlhá Pančucha, Bratislava, Slovart, 2010
[10] Dušan Dušek: Pištáčik. Slovart, 2016
Prof. RNDr. Jozef Hvorecký, PhD.
University of Liverpool, UK
e-mail: Jozef@Hvorecky.com